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PID控制系統的穩定性

在學術上,控制的穩定性基本就是漸進穩定性,BIBO穩定性是沒有辦法證明漸進穩定性時的“退而求其次”的東西,不怎么上臺面的。但是工業界里的穩定性有兩個看起來相似、實質上不盡相同的方面:一個當然是漸進穩定性,不光逐漸穩定下來,而且向設定值收斂;另一個則是穩定性,但不一定向設定值收斂,或者說穩定性比收斂性優先這樣一個情況。后者的情況就是需要PID控制系統穩定在還算靠譜的位置就可以了,多少接近設定值就行,要緊的是不要動來動去,是不是正好在設定值反而并不是太重要。這樣的例子有很多,比如反應器的壓力是一個重要參數,反應器壓力不穩定,進料一會兒打得進去,一會兒打不進去,原料進料比例就要亂套,催化劑進料也不穩定,反應就不穩定。但是反應器的壓力到底是2MPa還是2.5MPa并沒有太大的關系,只要慢慢地但又穩定地向設定值收斂就足夠了。這是PID控制理論里比較少涉及的一個情況,但這也是工業上時常采用積分主導的控制的一個重要原因。

系統的頻率就是系統響應持續振蕩時的頻率,但是控制領域里有三撥人在倒騰:一撥是以機電類動力學系統為特色的電工出身,包括航空航天、火力控制、機器人等;一撥是以連續過程為特色的化工出身的,還包括冶金、造紙、化纖等;還有一撥是以微分方程穩定性為特色的應用數學出身的。在瓦特和抽水馬桶的年代里,各坐各的山頭,井水不犯河水,倒也太平。但控制從藝術上升為理論后,總有人喜歡“統一”各個山頭。在控制理論的三國大戰中,電工幫搶了先,好端端的控制理論里被塞進了電工里的頻率?墒前】墒,這哪是頻率啊,這是......復頻率。既然那些“變態”的電工黨能折騰出虛功率來,那他們也能折騰出復頻率來。他們自虐倒也算了,只是苦了無辜之眾,從此被迫受此精神折磨。

事情的緣由是系統的穩定性。前面提到,PID參數如果設得不好,系統可能不穩定。除了摸索,有沒有辦法從理論上計算出合適的PID參數呢?有的。動態過程可以用微分方程描述,其實在PID的階段,這只是微分方程中很狹窄的一支:單變量定常系數線性常微分方程。要是還記得一點高數,一定還記得線性常微的解,除了分離變量法什么的,如果自變量時間用t表示的話,最常用的求解還是把eλt代入微分方程,然后解λ的代數方程(正式稱呼是特征方程),解出來的就是特征根。這可以是實數,也可以是復數。是復數的話,微分方程的解就要用三角函數展開了(怎么樣,當年噩夢的感覺找回來一點沒有)。實數根整個都是實部。復數根可以分解為實部和虛部,只要所有特征根的實部為負,那微分方程就是穩定的,因為負的指數項最終隨時間向零收斂。虛部到底有多大就無所謂了,對穩定性沒有影響,但對振蕩頻率有影響。但是,這么求解分析起來還是不容易,還是超不出“具體情況具體分析”,難以得出一般的結論。

如今法國排不進第一世界了,再自豪的法國人都不敢自稱超級大國,但當年法國人是很牛的,除了凡爾賽宮和法國大餐外,還有很多厲害的數學家。其中一個叫拉普拉斯的家伙,搗鼓出一個拉普拉斯變換,把常微分方程變成s的多項式。拉普拉斯變換是數學變換的一種,而數學變換是數學世界里一個十分精妙的游戲。還記得尼古拉斯·凱奇主演的電影《國家財富》嗎,淘寶人發現了一副奇妙的彩色偏振鏡片,用不同組合,可以在《獨立宣言》原稿背面看出不同的尋寶線索。這當然是騙票房的東西,但數學變換好比這彩色偏振鏡片,從一個看似一堆混沌的東西里換一個角度去看,再換一個角度去看,可以看出很多奧妙來,尤其是結構性的特征。用拉普拉斯變換處理常微分方程也是這個意思,可以從看似無從入手的常微分方程里,提出與穩定性相關的特征信息來。對描述動態過程的微分方程施加拉普拉斯變換后,微分方程就變成了傳遞函數,這是經典控制理論的基礎。這里面的數學細節說起來比較啰唆,還是留給嚴謹的教科書吧。

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