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開環系統與閉環系統的頻率響應

Nyquist圖的繪制方法

1、首先將系統的頻率特性分解成下列兩種標準形式:

            (1)

              (2)

2、確定起始點與終止點的極坐標和曲線的基本形狀。

    由(1)式可得:

 當  時,稱為0型系統:極坐標的起點(對應的  )是一個在正實軸上的有限值,其大小為  。即以 代入  中所求得的幅值,在  處與極坐標圖曲線相切是一條垂直于實軸的垂線。對應于  處是極坐標的終止點,0型的終止點就是坐標原點。

 當  時,稱為1型系統:在  范圍內,  總相角中的  是分母中包含的  項產生的。在低頻時,極坐標圖是一條漸進于和負虛軸平行的直線。在  處幅值為零,曲線收斂于原點。也就是說曲線的起點坐標為 。

 當  時,稱為2型系統。在  范圍內,  總相角中的  是分母中包含的  項產生的。在  處,  的幅值為無窮大,相角為  ,在低頻處極坐標圖是漸進于負虛軸的一條直線。在  處幅值變為零,起始點坐標為  。

3、確定曲線終止點的具體形狀。

    在上述第二步中,曲線終止點的相角可正可負沒有具體確定,為此由式(2)可得:

 當 時,曲線終止點的相角均為 ,但曲線尾部是在第三或第四象限內與負虛軸相切尚不能定,留待下一步分子動態特性中解決。終止點坐標為 。

 當 時,曲線終止點的相角均為 ,但曲線尾部是在第二或第三象限內與負實軸相切尚不能定,也留待下一步分子動態特性中解決。終止點坐標為 。

 當 時,曲線終止點的相角均為 ,但尾部是在第一或第二象限內與正虛軸相切尚不能定,留待下一步分子動態特性中解決。終止點坐標為 。

4、確定曲線是否穿越虛軸或實軸。

    在第(3)步中,曲線尾部到底是在哪一個象限與虛軸或實軸相切,尚不能定,這實質上是確定曲線是否穿越虛軸或實軸的問題,它取決于分子動態特性。所謂分子動態特性,是指傳遞函數式(1)中的分子的時間常數 與分母中的時間常數 之間相對大小的變化而引起曲線形狀的變化以致使曲線穿越或不穿越虛軸或實軸。為此應將(1)式變化成下式:

式中Re—表示 的實部;Im—表示 的虛部

 令,可得.此時根據 和 所求得之 值若為實數,則曲線穿越實軸, 即為曲線與實軸相交點處的頻率; 若為虛數,則曲線不穿越實軸。

 若令 ,則可得.此時根據 和 所求得 值若為實數,則曲線穿越虛軸, 即為曲線與虛軸相交點處的頻率; 若為虛數,則曲線不穿越虛軸。

例題解析

 Bode圖的繪制方法

 將傳遞函數分解成基本因子的乘積。為避免在繪制對數幅頻特性曲線中出現錯誤,最好把傳遞函數 寫成由若干典型環節串聯組成的標準形。

 定出增益 值,并求出 的分貝數。

 定出各基本因子的轉折頻率 。

 在 的這一點開始畫斜線,根據積分環節的個數 ,畫斜率 的最低頻段直線通過該點。

 按轉角頻率從低到高的次序,依次改變最低頻段直線的斜率,慣性環節(或一階微分環節)的轉角頻率時,斜率減(或加)20db/dec;過震蕩環節(或二階微分環節)的轉角頻率時,斜率減(或加)40db/dec。

 按各基本因子相角變化的特點,畫出每一因子的對數幅頻特性曲線,然后把所有的相頻特性在相同的頻率下相加,即得開環系統的相頻特性曲線。

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